4 489
redigeringer
Endringer
Hopp til navigering
Hopp til søk
→Geometrisk tolkning
Linje 7:
Linje 7:
[[Image:Geometri2.gif|200px]]
[[Image:Geometri2.gif|200px]]
+=== Indre vinkel ===
+
+Den indre vinkelen ''β'', vinkelen i hørnet av en regulær mangekant, kan finnes slik:
+
+<m>
+\beta=\pi\left(1-\frac{2}{n}\right)
+</m>
+
+Innsatt for en pikant får vi
+
+<m>
+\beta=\pi\left(1-\frac{2}{\pi}\right)=\pi-2\approx 1.14159\approx 65.4\textdegree
+</m>
+
+=== Ytre vinkel ===
+
+Den ytre vinkelen ''γ'' er tilsvarende for en regulær mangekant:
+
+<m>
+\gamma=\pi\frac{2}{n}
+</m>
+
+som for en pikant gir 2 radianer, eller 114,59 °.
=== Omkrets ===
=== Omkrets ===
Linje 48:
Linje 71:
A=\frac{\pi}{4}\mathrm{cot}\,\frac{\pi}{\pi}L^{2}=\frac{\pi}{4}\mathrm{cot}\,1\cdot L^{2}\approx 0.504298 L^{2}
A=\frac{\pi}{4}\mathrm{cot}\,\frac{\pi}{\pi}L^{2}=\frac{\pi}{4}\mathrm{cot}\,1\cdot L^{2}\approx 0.504298 L^{2}
</m>
</m>
+
+=== Stjerne ===
+
+Den indre vinkelen er som nevnt over 65,4 °. Dette tilsvarer nesten perfekt en 6,5-deling av 360 grader, med et avvik på bare 0,070 %. Visuelt har derfor pikanten et nært forhold til en 11-kantet stjerne. Figuren under viser en pikantstjerne. Ved å se nærme på figuren kan du se at det er et tomrom mellom linjene i det øverste hjørnet.
+
+[[Image:Geometri4.png|200px]]
+
+=== Innskrevet og omskrevet sirkel ===
+
+Senterpunktet for både innskrevet og omskrevet sirkel finnes i skjæringspunktet til linjene som halverer hjørnevinklene.
+
+[[Image:Geometri5.png|200px]]
+
+I figuren under er ''r'' og ''R'' radiene i henholdsvis den innskrevne og omskrevne sirkelen.
+
+[[Image:Geometri6.png|200px]]
+
+==== Innskrevet sirkel ====
+
+Fra geometriske betraktninger i figuren over kan vi sette opp følgende formler:
+
+<m>
+\mathrm{tan}\left(\beta\right)=\frac{r}{L/2}=\frac{2r}{L}
+</m>
+
+Ved innsetting og omrokkering får vi:
+
+<m>
+r=\frac{1}{2}\mathrm{tan}\left(\frac{\pi}{2}-1\right) L\approx 0.321 L
+</m>
+
+Arealet av den innskrevne sirkelen blir da:
+
+<m>
+a=\frac{\pi}{4}\mathrm{tan}^2\left(\frac{\pi}{2}-1\right)L^2\approx 0.324 L^2
+</m>
+
+som tilsvarer ca. 64 % av pikantens areal.
+
+==== Omskrevet sirkel ====
+
+Som for den innskrevne sirkelen kan vi sette opp et uttrykk for radien i den omskrevne sirkelen:
+
+<m>
+\mathrm{cos}\left(\frac{\pi}{2}-1\right)=\frac{1/2}{R} L=\frac{L}{2R}
+</m>
+
+<m>
+R=\frac{1}{2}\mathrm{sec}\left(\frac{\pi}{2}-1\right) L\approx 0.594 L
+</m>
+
+Arealet av den omskrevne sirkelen blir da:
+
+<m>
+A=\frac{\pi}{4}\mathrm{sec}^2\left(\frac{\pi}{2}-1\right) L^2 \approx 1.109 L^2
+</m>
+
+som tilsvarer ca. 220 % av pikantens areal.
=== Den åpne siden ===
=== Den åpne siden ===