4 483
redigeringer
Endringer
Hopp til navigering
Hopp til søk
Linje 7:
Linje 7: + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Linje 48:
Linje 71: + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
→Geometrisk tolkning
[[Image:Geometri2.gif|200px]]
[[Image:Geometri2.gif|200px]]
=== Indre vinkel ===
Den indre vinkelen ''β'', vinkelen i hørnet av en regulær mangekant, kan finnes slik:
<m>
\beta=\pi\left(1-\frac{2}{n}\right)
</m>
Innsatt for en pikant får vi
<m>
\beta=\pi\left(1-\frac{2}{\pi}\right)=\pi-2\approx 1.14159\approx 65.4\textdegree
</m>
=== Ytre vinkel ===
Den ytre vinkelen ''γ'' er tilsvarende for en regulær mangekant:
<m>
\gamma=\pi\frac{2}{n}
</m>
som for en pikant gir 2 radianer, eller 114,59 °.
=== Omkrets ===
=== Omkrets ===
A=\frac{\pi}{4}\mathrm{cot}\,\frac{\pi}{\pi}L^{2}=\frac{\pi}{4}\mathrm{cot}\,1\cdot L^{2}\approx 0.504298 L^{2}
A=\frac{\pi}{4}\mathrm{cot}\,\frac{\pi}{\pi}L^{2}=\frac{\pi}{4}\mathrm{cot}\,1\cdot L^{2}\approx 0.504298 L^{2}
</m>
</m>
=== Stjerne ===
Den indre vinkelen er som nevnt over 65,4 °. Dette tilsvarer nesten perfekt en 6,5-deling av 360 grader, med et avvik på bare 0,070 %. Visuelt har derfor pikanten et nært forhold til en 11-kantet stjerne. Figuren under viser en pikantstjerne. Ved å se nærme på figuren kan du se at det er et tomrom mellom linjene i det øverste hjørnet.
[[Image:Geometri4.png|200px]]
=== Innskrevet og omskrevet sirkel ===
Senterpunktet for både innskrevet og omskrevet sirkel finnes i skjæringspunktet til linjene som halverer hjørnevinklene.
[[Image:Geometri5.png|200px]]
I figuren under er ''r'' og ''R'' radiene i henholdsvis den innskrevne og omskrevne sirkelen.
[[Image:Geometri6.png|200px]]
==== Innskrevet sirkel ====
Fra geometriske betraktninger i figuren over kan vi sette opp følgende formler:
<m>
\mathrm{tan}\left(\beta\right)=\frac{r}{L/2}=\frac{2r}{L}
</m>
Ved innsetting og omrokkering får vi:
<m>
r=\frac{1}{2}\mathrm{tan}\left(\frac{\pi}{2}-1\right) L\approx 0.321 L
</m>
Arealet av den innskrevne sirkelen blir da:
<m>
a=\frac{\pi}{4}\mathrm{tan}^2\left(\frac{\pi}{2}-1\right)L^2\approx 0.324 L^2
</m>
som tilsvarer ca. 64 % av pikantens areal.
==== Omskrevet sirkel ====
Som for den innskrevne sirkelen kan vi sette opp et uttrykk for radien i den omskrevne sirkelen:
<m>
\mathrm{cos}\left(\frac{\pi}{2}-1\right)=\frac{1/2}{R} L=\frac{L}{2R}
</m>
<m>
R=\frac{1}{2}\mathrm{sec}\left(\frac{\pi}{2}-1\right) L\approx 0.594 L
</m>
Arealet av den omskrevne sirkelen blir da:
<m>
A=\frac{\pi}{4}\mathrm{sec}^2\left(\frac{\pi}{2}-1\right) L^2 \approx 1.109 L^2
</m>
som tilsvarer ca. 220 % av pikantens areal.
=== Den åpne siden ===
=== Den åpne siden ===