Søvn

Du trodde kanskje at kroppen selv er den beste til å bedømme hvor mye søvn du trenger? I så fall trenger du en real oppvåkning: Riktig mengde søvn kan bare finnes ved bruk av matematikk.

Søvnbehov

Søvnbehovet per natt, S, varierer mye fra person til person, normalt i intervallet 5-10 timer. Dette er avhengig av kulturelle og individuelle faktorer, og vil påvirkes av livsstil.

Tretthet

Tretthet er kroppens måte å si ifra at det er på tide å sove. I normale perioder vil man bli trett og merke at man er klar for å sove når man har vært våken i 24 - S timer. Ved et søvnbehov på 6 timer blir man for eksempel trett etter 24 - 6 = 18 timer.

Hvor lang tid det tar før man blir trett, avhenger av hvor mye søvn man fikk forrige natt. Studier viser at oppvaktperioden, altså tiden fra man våkner til man blir trett igjen, er proporsjonal med lengden av siste søvnperiode. Hvis man bare fikk fire timer søvn vil man derfor bli trett igjen etter <m>\frac{24-6}{6}\cdot 4=\frac{18}{6}\cdot 4=12 t</m>.

Konservering av søvn

Dersom du sov lite forrige natt, vil du behøve mer søvn neste natt, men ikke nødvendigvis hele mellomlegget. Mange forskere opererer med halveringstid (t_1/2) på søvn. Stadig flere har de senere årene gått over til å benytte søvnkonserveringsfaktoren <m>\alpha=1-\frac{1}{t_{1/2}} </m>. Søvnkonserveringsfaktoren forteller hvor stor andel av søvnunderskuddet som vedvarer etter 24 timer. α = 0,25 sier for eksempel at et underskudd på to timer søvn en natt gjør at du må sove 0,25 * 2 = 0,5 timer lenger enn normalt natten etter. Verdien av søvnkonserveringsfaktoren varierer mye i litteraturen, fra 0,05 til 0,8. Mange forenklede søvnmodeller legger enten α = 0 eller α = 1 til grunn, altså enten at det ikke finnes lagring av søvnunderskudd eller at alt underskuddet overføres til neste natt. Metametastudier ved Universitetet i Rælingsskaret antyder at en verdi mellom 0,4 og 0,6 vil kunne forsvares fysisk.

Underskudd og overskudd av søvn kan bygge seg opp over tid, og konserveringsfaktoren forteller noe om hvor fort opparbeidet ubalanse brytes ned, eller eventuelt hvor langsomt det bygger seg opp. Et underskudd på x timer hver natt i en lengre periode vil over tid bygge seg opp til <m>\frac{\alpha}{1-\alpha}x</m> timer.

Tabellen under viser en ukes søvnregnskap for en person med 8 timers søvnbehov. Det er benyttet konserveringsfaktor α = 0,5. Tabellen viser avvik i søvnbalansen for hver natt, og akkumulert søvnbalanse med nedbryting. Hvis man summerer kolonnen Søvnbalanse, ser man at det totalt sett er et underskudd på 4 timer, men akkumulert søvnbalanse med nedbryting viser et overskudd på 37 minutter.

Dag	Vekketid	Leggetid	Søvn	Søvnbalanse	Søvnbalanse akkumulert
Mandag	06:00	23:30			0:00
Tirsdag	06:00	23:00	6:30	-1:30	-0:45
Onsdag	06:00	23:00	7:00	-1:00	-0:52
Torsdag	06:00	24:00	7:00	-1:00	-0:56
Fredag	06:00	25:00	6:00	-2:00	-1:28
Lørdag	07:30	28:00	6:30	-1:30	-1:29
Søndag	14:00	21:00	10:00	+2:00	+0:15
Mandag	06:00	22:00	9:00	+1:00	+0:37

Hysterese

Enkelte forskere legger til grunn et fenomen som kalles søvnhysterese, som innebærer at det benyttes ulik konserveringsfaktor for søvnmangel og søvnoverskudd. I tilfeller der dette er gjeldende benyttes α₁ og α₂ for henholdsvis søvnmangel og søvnoverskudd.

Praktisk anvendelse

Lineær søvnmatematikk har mange praktiske anvendelser, spesielt innen fagfeltet matematisk sosialantropologi.

Ett eksempel på anvendelse er rasjonering av søvn etter en våkenatt. Hvis du har lagt deg sent natt til søndag, er det fristende å sove helt ut på søndag formiddag. Men på grunn av kort tid for oppbygging av søvnbehov vil du ikke rekke å bli trett innen rimelig tid søndag kveld, og dermed få problemer med å få sove før sent natt til mandag, og følgelig være trett når du står opp. Utfordringen er å finne riktig tidspunkt å stå opp søndag formiddag, slik at du blir trett til rett tid søndag kveld.

Uten konservering

Ved å regne uten søvnkonservering er oppgaven enkel. Sett at man har et søvnbehov på 7 timer, legger seg klokken 4 natt til søndag og skal stå opp klokken 6 mandag. Man ønsker å sove 7 timer natt til mandag, og må altså legge seg klokken 23. Det er da 19 timer fra man legger seg natt til søndag til neste gang man skal i seng, og antall timer søvn blir 19 * 7 / 24 = 5,54 timer i henhold til teksten under Tretthet ovenfor. Man må altså stå opp klokken 4 + 5,54 = 9,54 = 9:33 søndag formiddag for å bli trett klokken 23.

Med konservering

Med delvis konservering av søvn blir oppgaven et hakk vanskeligere. Gitt de samme betingelsene som i forrige tilfelle, vil man måtte sove mer enn 7 timer natt til mandag for å ta igjen tapt søvn natt til søndag. Med α = 0,6 må f.eks. 1 time tapt søvn tas igjen med 0,6 timer = 36 minutter ekstra søvn natten etter.

Sett at man sover x timer. Da blir man trett kl. <m>4 + x + \frac{24-7}{7}x</m>. Man har et søvnunderskudd på 7 - x timer, og må ta igjen 0,6 * (7 - x) av dette. Man står derfor opp våken og opplagt mandag klokken <m>4+x+\frac{24-7}{7}x+7+0,6\cdot (7-x)</m>. For å våkne klokken 6 mandag morgen må dette uttrykket være lik 6 + 24 = 30 på grunn av forskyvning til neste døgn^*. Vi kan forenkle: <m>4+x+\frac{24-7}{7}x+7+0,6\cdot (7-x)=30</m>

<m>4+x+2,429x+7+4,2-0,6x=30</m>

<m>2,829x=14,8</m>

<m>x=5,23</m>

Man må altså stå opp søndag klokken 4 + 5,23 = 9,23 = 09:14, og blir trett kl. 9,23 + 5,23 * 2,429 = 21,93 = 21:56.

Generelt kan tidspunktet for vekking søndag formiddag beregnes etter følgende formel, der tv₁ er vekketid søndag, tl₁ er leggetid natt til søndag og tv₂ er vekketid mandag morgen:

<m>tv_{1}=tl_{1}+\frac{tv_{2}-tl_{1}-\left(1+\alpha\right)\cdot S}{24/S-\alpha}</m>

^* Merk at alle tidene oppgis innenfor samme dag. I regnestykket over er søndag valgt som referanse, slik at kl. 6 mandag oppgis som kl. 30 søndag. Leggetid lørdag kl. 22 ville ha blitt oppgitt som kl. -2 søndag.