4 415
redigeringer
Endringer
Hopp til navigering
Hopp til søk
Linje 8:
Linje 8: − + Linje 23:
Linje 23: − + − + Linje 33:
Linje 33: − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + Linje 61:
Linje 61: − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + Linje 95:
Linje 95: − + − + − + − + − +
ingen redigeringsforklaring
# Bevegelsen til et legeme er ''relativ'' til det referansesystem bevegelsen observeres fra.
# Bevegelsen til et legeme er ''relativ'' til det referansesystem bevegelsen observeres fra.
# Lysets hastighet (<m>c \approx 3\cdot10^{8}</m> <sup>m</sup>/<sub>s</sub>) er absolutt, uavhengig av referansesystem.
# Lysets hastighet (<math>c \approx 3\cdot10^{8}</math> <sup>m</sup>/<sub>s</sub>) er absolutt, uavhengig av referansesystem.
[[Albert Einstein]] nyttiggjorde seg av tog for å illustrere dette konseptet. En klokke, senere kjent som ''Einsteins klokke'', ble introdusert. Denne klokken regner et "tikk" som den tiden klokken bruker på å sende et foton en vertikal distanse mellom to sensorer.
[[Albert Einstein]] nyttiggjorde seg av tog for å illustrere dette konseptet. En klokke, senere kjent som ''Einsteins klokke'', ble introdusert. Denne klokken regner et "tikk" som den tiden klokken bruker på å sende et foton en vertikal distanse mellom to sensorer.
Utfra Pytagoras' [[regler|regel]] og enkel aritmetikk får vi:
Utfra Pytagoras' [[regler|regel]] og enkel aritmetikk får vi:
<m>
<math>
\Delta t_B = \frac{\Delta t_A^0}{\sqrt{ 1- \left( \frac{u}{c}\right)^2}}
\Delta t_B = \frac{\Delta t_A^0}{\sqrt{ 1- \left( \frac{u}{c}\right)^2}}
</m>
</math>
== Utvidet betraktning for translatorisk bevegelse uten akselerasjon ==
== Utvidet betraktning for translatorisk bevegelse uten akselerasjon ==
Endringen i tid for en reisende per meter reiselengde langs ekvator vil være:
Endringen i tid for en reisende per meter reiselengde langs ekvator vil være:
<m>
<math>
\left.\frac{\partial t}{\partial x}\right|_{ekvator} = \frac{\mathcal T_d }{L_E }
\left.\frac{\partial t}{\partial x}\right|_{ekvator} = \frac{\mathcal T_d }{L_E }
</m>
</math>
Hvor <m>\mathcal T_d </m> er tiden i et døgn (<m>24\cdot3600 ~ s</m> ) og <m>L_E</m> er jordas omkrets ved ekvator. Ved breddegrad <m>\theta</m> og med en hastighet i en vinkel <m>\phi</m> på ekvator finner vi gjennom litt enkel geometri at det generelle uttrykket blir:
Hvor <math>\mathcal T_d </math> er tiden i et døgn (<math>24\cdot3600 ~ s</math> ) og <math>L_E</math> er jordas omkrets ved ekvator. Ved breddegrad <math>\theta</math> og med en hastighet i en vinkel <math>\phi</math> på ekvator finner vi gjennom litt enkel geometri at det generelle uttrykket blir:
<m>
<math>
\frac{\partial t}{\partial x} = \frac{\mathcal T_d}{L_E} \frac{\cos \phi}{\cos^2\theta}
\frac{\partial t}{\partial x} = \frac{\mathcal T_d}{L_E} \frac{\cos \phi}{\cos^2\theta}
</m>
</math>
Vi antar videre forholdsvis korte forflytninger per klokketikk (<m>x\ll L_E</m>) og at toget ikke krysser tidssonesømmen; <m>x\in \{ -L_E,L_E\}</m>. Tidsintervaller erfart av observatør A må da augmenteres for endring i tidssone. Grunnet det korte tidsintervallet gir en første ordens rekkeutvikling tilstrekkelig presisjon:
Vi antar videre forholdsvis korte forflytninger per klokketikk (<math>x\ll L_E</math>) og at toget ikke krysser tidssonesømmen; <math>x\in \{ -L_E,L_E\}</math>. Tidsintervaller erfart av observatør A må da augmenteres for endring i tidssone. Grunnet det korte tidsintervallet gir en første ordens rekkeutvikling tilstrekkelig presisjon:
<m>
<math>
\Delta t_A = \Delta t_A^0 + \frac{\partial t}{\partial x} \Delta x
\Delta t_A = \Delta t_A^0 + \frac{\partial t}{\partial x} \Delta x
</m>
</math>
<m> \Delta x </m> kan uttrykkes utfra observasjonene til observatør B:
<math> \Delta x </math> kan uttrykkes utfra observasjonene til observatør B:
<m>
<math>
\Delta x = u \Delta t_B
\Delta x = u \Delta t_B
</m>
</math>
Denne augmentasjonen kan nå settes inn i forflytningstriangelet Figur 2 fra Einsteins forenklede utledning. Figur 3 viser endringen.
Denne augmentasjonen kan nå settes inn i forflytningstriangelet Figur 2 fra Einsteins forenklede utledning. Figur 3 viser endringen.
Ved igjen å benytte Pytagoras’ regel får vi:
Ved igjen å benytte Pytagoras’ regel får vi:
<m>
<math>
(c \Delta t_B)^2 = (u \Delta t_B)^2 + c^2\left(\Delta t_A^0 + u\frac{\partial t}{\partial x} \Delta t_B\right)^2
(c \Delta t_B)^2 = (u \Delta t_B)^2 + c^2\left(\Delta t_A^0 + u\frac{\partial t}{\partial x} \Delta t_B\right)^2
</m>
</math>
Vi innfører variabelen
Vi innfører variabelen
<m>
<math>
\zeta \stackrel{\Delta}{=} \frac{1}{1-\left( u\frac{\partial t}{\partial x} \right)^2-\left(\frac uc \right)^2}
\zeta \stackrel{\Delta}{=} \frac{1}{1-\left( u\frac{\partial t}{\partial x} \right)^2-\left(\frac uc \right)^2}
</m>
</math>
og får et kvadratisk uttrykk i <m> \Delta t_B </m>:
og får et kvadratisk uttrykk i <math> \Delta t_B </math>:
<m>
<math>
\Delta t_B^2 - 2u\frac{\partial t}{\partial x} \zeta \Delta t_A^0 \Delta t_B - \zeta \Delta {t_A^0}^2 = 0
\Delta t_B^2 - 2u\frac{\partial t}{\partial x} \zeta \Delta t_A^0 \Delta t_B - \zeta \Delta {t_A^0}^2 = 0
</m>
</math>
med den velkjente løsningen:
med den velkjente løsningen:
<m>
<math>
\Delta t_B = \left[ u\frac{\partial t}{\partial x} \zeta \pm \sqrt{\left( u \frac{\partial t}{\partial x} \zeta\right)^2 + \zeta }\right]{\Delta t_A^0}
\Delta t_B = \left[ u\frac{\partial t}{\partial x} \zeta \pm \sqrt{\left( u \frac{\partial t}{\partial x} \zeta\right)^2 + \zeta }\right]{\Delta t_A^0}
</m>
</math>
Ettersom det kvadratiske uttrykket stammer fra Pytagoras' regel er kun <m>\pm \rightarrow + </m> en gyldig løsning.
Ettersom det kvadratiske uttrykket stammer fra Pytagoras' regel er kun <math>\pm \rightarrow + </math> en gyldig løsning.
Et kriterium for kompleks tid er at
Et kriterium for kompleks tid er at
<m>
<math>
\left(u \frac{\partial t}{\partial x} \right)^2 + \zeta^{-1}<0
\left(u \frac{\partial t}{\partial x} \right)^2 + \zeta^{-1}<0
</m>
</math>
som, ved innsettelse av <m>\zeta</m>, maner ut kriteriet
som, ved innsettelse av <math>\zeta</math>, maner ut kriteriet
<m>
<math>
|u|>c
|u|>c
</m>
</math>
hvilket er umulig da lyshastigheten er et globalt supremum.
hvilket er umulig da lyshastigheten er et globalt supremum.