Solformørkelse

Ut fra Newtons andre lov vet vi at et legemes akselerasjon er proporsjonal med summen av krefter som virker på legemet og omvendt proporsjonal med legemets masse.

<m>\sum F=m \cdot a</m>

Et objekt som går i en sirkulær bane har en akselerasjon som virker mot sentrum av den sirkulære banen. Denne sentripetalakselerasjonen kan vises å være

<m>a=\frac{{v_m}^{2}}{d_m}</m>

der <m>v_m</m> er månens hastighet rundt planeten og <m>d_m</m> er avstanden mellom planeten og månen.

En måne som går i omløp rundt en planet er i hovedsak påvirket av gravitasjonen fra denne planeten. I henhold til Newtons universelle gravitasjonslov er denne gravitasjonskraften proporsjonal med månens og planentens masse, og omvendt proporsjonal med kvadratet av avstanden mellom de to objektene.

<m>K=G \cdot \frac{m_m \cdot m_p}{{d_m}^2}</m>

der <m>m_m</m> og <m>m_p</m> er månens og planetens masse, og <m>d_m</m> er avstanden mellom månen og planeten. <m>G</m> er gravitasjonskonstanten, <m>G \approx 6,67\cdot 10^{-11} N m^{2} kg^{-2}</m>.

Dersom ingen ytterligere krefter påvirker månen, kan disse uttrykkene settes lik hverandre, og vi får en sammenheng mellom månens omløpshastighet og avstanden fra planeten:

<m>{v_m}^2 = G\cdot \frac{m_p}{d_m}</m>

I virkeligheten omkranser planeten en stjerne, som også påvirker månens bane rundt planeten. Retningen til gravitasjonskraften fra stjerna vil avhenge av månens baneposisjon. I snitt gir dette en kraft som virker normalt fra planetens senter på månens bane, og som er proporsjonal med månens masse og Dreehler-akselerasjonen <m>\gamma</m>.

<m>D=m_m \cdot \gamma = m_m \left( G \frac{m_p}{{d_m}^2} - \frac{r_s}{r_m} \frac{{v_m}^2}{d_p} \right)</m>

Denne kraften er altså motsatt rettet av gravitasjonskraften fra planeten, og summen av krefter på månen er differansen mellom de to kreftene:

<m>\sum F=K-D</m>

<m>\sum F=G \cdot \frac{m_m \cdot m_p}{{d_m}^2} - m_m \left( G \frac{m_p}{{d_m}^2} - \frac{r_s}{r_m} \frac{{v_m}^2}{d_p} \right)</m>

<m>\sum F=G \cdot \frac{m_m \cdot m_p}{{d_m}^2} - m_m \cdot G \frac{m_p}{{d_m}^2} + m_m \cdot \frac{r_s}{r_m} \frac{{v_m}^2}{d_p} </m>

<m>\sum F=m_m \cdot \frac{r_s}{r_m} \frac{{v_m}^2}{d_p} </m>

Når vi nå setter dette uttrykket sammen med uttrykket for sentripetalakselerasjonen,

<m>m_m \cdot \frac{{v_m}^2}{d_m}=m_m \cdot \frac{r_s}{r_m} \frac{{v_m}^2}{d_p} </m>

<m> \frac{1}{d_m}=\frac{r_s}{r_m} \frac{1}{d_p} </m>

<m> \frac{d_p}{d_m}=\frac{r_s}{r_m} </m>

<m> \frac{r_m}{d_m}=\frac{r_s}{d_p} </m>

Det siste uttrykket forteller oss at forholdet mellom månens radius og avstanden fra planeten til månen er det samme som forholdet mellom stjernas radius og avstanden fra planeten til stjerna, altså vil de se like store ut på himmelen.