Etterpåklokskap

Du trodde kanskje at du visste hva etterpåklokskap er? Ja, nå kan du sitte og ergre deg over hvor dum du var.

Etterpåklokskap er en vitenskap innen statistikk først formalisert av den britiske matematikeren Robert Heignseight ved slutten av 1800-tallet. Ledende forskning er siden blitt utført under Fakultet for etterpåklokskap ved Universitetet i Rælingsskaret. Denne vitenskapen tar sikte på å beskrive en subjektiv oppfatning av en stokastisk prosess i kjølvann av én observasjon (realisering). Avhengig av den faktiske prosessen, subjektive reaksjonsmønstre og hvilken enkeltstående observasjon som gjøres, dannes en subjektiv projeksjon av prosessen slik den oppfattes etter observasjonen. Den projiserte prosessen kan være svært forskjellig fra den virkelige prosessen, selv om egenskapene vedrørende den reelle prosessen er godt kjent av observatøren. For eksempel eksisterer det omfattende meteorologiske data om historiske værforhold i Spania, men sist du var i Syden regna det, selvsagt.

Formelt lar vi en reell prosess <m>X</m> projiseres til tilbakeskuende prosess <m>\tilde{X}_\xi</m> via operatoren <m>T_\xi</m> lent på observasjonen <m>\xi</m>:

<m> T_\xi: X \mapsto \tilde{X}_\xi. </m>

Tilbakeblikkoperatoren <m>T_\xi</m> (på engelsk, «the Heignseight operator» eller «the Heignseightian») opererer på sannsynlighetsfordelingsfunksjon (sff) til realprosessen og modelleres for å gjenskape subjektiv karakteristikk ved observatør; hvis <m>f(x)</m> er sff til <m>X</m> sier vi at

<m> \tilde f_\xi(x) = T_\xi f(x) </m>

er sff til <m>\tilde X_\xi</m> basert på observasjon <m>\xi</m>. En hyppig brukt lineær tilbakeblikkmodell er

<m> T_\xi f(x) = \frac{1}{|a|} f\Big(\frac{x-\xi}{a}\Big). </m>

Her er <m>a</m> en subjektiv usikkerhetskoeffisient, ofte kalt ydmykhetstallet. Dens invers, <m>b=1/a</m>, kalles bastanthetstallet. Tilbakeskuende forventningsverdi og varians i denne modellen er hhv.

<m> \mathrm{E}[\tilde{X}_\xi] = a \mathrm{E}[X] + \xi (1-a^2) </m>

og

<m> \mathrm{Var}[\tilde X_\xi] = \mathrm{E}[(\tilde X_\xi- \mathrm{E}[\tilde{X}_\xi])^2]= a^2 \mathrm{Var}[X]. </m>

Merk følgende egenskaper ved ydmykhetstallet <m>a</m>:

• <m>a=0</m> -- Ingen ydmykhet og forventet utfall er <m>\tilde{X}_\xi=\xi</m> med null varians.
• <m>0<a<1</m> -- Tilbakeskuende sannsynlighetsfordeling smalner og trekkes nærmere observasjonen <m>x=\xi</m>.
• <m>a=1</m> -- Full objektivitet. Reell sannsynlighetsfordeling gjenvinnes --- dette er et sunt menneske.
• <m>a>1</m> -- En overskyting i usikkerhet. Observatør er av oppfatning av at det ligger noe «konservativt» i observasjonen <m>\xi</m>.
• <m>a<0</m> -- Observatør undervurderer eget ydmykhetstall --- stor mangel på selvinnsikt.

[figur]

Den lineære modellen har også noen mer sære egenskaper; i tilfeller der observasjon sammenfaller med reell forventningsverdi gi overdreven tilbakeskuende forventningsverdi. For eksempel vil en observasjon <m>\xi=\mathrm{E}[X]</m> med <m>a=0.5</m> gi <m>\mathrm{E}[\tilde{X}_\xi] = 1.25 \xi</m>. Denne særegenskapen kan likevel legitimeres ved å si at det gjenspeiler observatørutilitet i at det finnes en implisitt antagelse om at referanseobservasjonen var konservativ.

Estimering av ydmykhetstall

Merk at ydmykhetstallet gir stor innsikt i personlige egenskaper hos observatøren. Personinnsikt er derfor nødvendig for estimering av ydmykhetstall ved prosessprojisering. Merk derimot at det er mulig å invertere estimeringen slik at ydmykhetstallet estimeres på bakgrunn observatøruttalelser om forventet hendelsesforløp gjennom en regresjonsanalyse. Det blir med andre ord mulig å utrette innsikt av en personlig art utfra sløvpratet hans. En skal merke seg at usikkerhet i parametere i en tilbakeskuende prosess skiller seg fra klassiske usikkerhetsestimater fra objektiv statistikk. For eksempel vil estimater av <m>\tilde{X}_\xi</m> ikke følge en Students t-fordeling, selv om <m>X</m> er normalfordelt. Derimot benyttes ofte en t-fordeling ved estimering av ydmykhetstallet <m>a</m>.