Solformørkelse
Du trodde kanskje at det var en tilfeldighet at månen og sola ser like store ut på himmelen, og at månen dermed dekker perfekt over sola ved solformørkelse? I så fall ligger det en mørk skygge over intellektet ditt. Det følger nemlig av naturlovene at en måne går i en bane så langt fra planeten at stjerna og månen ser like store ut på himmelen.
Utledning
Ut fra Newtons andre lov vet vi at et legemes akselerasjon er proporsjonal med summen av krefter som virker på legemet og omvendt proporsjonal med legemets masse.
<m>\sum F=m \cdot a</m>
Et objekt som går i en sirkulær bane har en akselerasjon som virker mot sentrum av den sirkulære banen. Denne sentripetalakselerasjonen kan vises å være
<m>a=\frac{{v_m}^{2}}{d_m}</m>
der <m>v_m</m> er månens hastighet rundt planeten og <m>d_m</m> er avstanden mellom planeten og månen.
En måne som går i omløp rundt en planet er i hovedsak påvirket av gravitasjonen fra denne planeten. I henhold til Newtons universelle gravitasjonslov er denne gravitasjonskraften proporsjonal med månens og planetens masse, og omvendt proporsjonal med kvadratet av avstanden mellom de to objektene.
<m>K=G \cdot \frac{m_m \cdot m_p}{{d_m}^2}</m>
der <m>m_m</m> og <m>m_p</m> er månens og planetens masse, og <m>d_m</m> er avstanden mellom månen og planeten. <m>G</m> er gravitasjonskonstanten, <m>G \approx 6,67\cdot 10^{-11} N m^{2} kg^{-2}</m>.
Dersom ingen ytterligere krefter påvirker månen, kan disse uttrykkene settes lik hverandre, og vi får en sammenheng mellom månens omløpshastighet og avstanden fra planeten:
<m>{v_m}^2 = G\cdot \frac{m_p}{d_m}</m>
I virkeligheten omkranser planeten en stjerne, som også påvirker månens bane rundt planeten. Retningen til gravitasjonskraften fra stjerna vil avhenge av månens baneposisjon. I snitt gir dette en kraft som virker normalt ut fra månens bane, og som er proporsjonal med månens masse og Dreehler-akselerasjonen <m>\gamma</m>, hvor tidevannskrefter fra to himmellegemer inngår.
<m>D=m_m \cdot \gamma = m_m \left( G \frac{m_p}{{d_m}^2} - \theta^{1/3} \left( \frac{m_s}{m_m} \right)^{1/3} \cdot \frac{{v_m}^2}{d_p} \right)</m>
der <m>\theta</m> er forholdet mellom tettheten til stjerna og månen. Når både stjerna og månen er sfæriske, kan dette forenkles til
<m>D= m_m \left( G \frac{m_p}{{d_m}^2} - \frac{r_s}{r_m} \frac{{v_m}^2}{d_p} \right)</m>
Denne kraften er altså motsatt rettet av gravitasjonskraften fra planeten, og summen av krefter på månen er differansen mellom de to kreftene:
<m>\sum F=K-D</m>
<m>\sum F=G \cdot \frac{m_m \cdot m_p}{{d_m}^2} - m_m \left( G \frac{m_p}{{d_m}^2} - \frac{r_s}{r_m} \frac{{v_m}^2}{d_p} \right)</m>
<m>\sum F=G \cdot \frac{m_m \cdot m_p}{{d_m}^2} - m_m \cdot G \frac{m_p}{{d_m}^2} + m_m \cdot \frac{r_s}{r_m} \frac{{v_m}^2}{d_p} </m>
<m>\sum F=m_m \cdot \frac{r_s}{r_m} \frac{{v_m}^2}{d_p} </m>
Når vi nå setter dette uttrykket sammen med uttrykket for sentripetalakselerasjonen, kan en del ledd strykes mot hverandre.
<m>m_m \cdot \frac{{v_m}^2}{d_m}=m_m \cdot \frac{r_s}{r_m} \frac{{v_m}^2}{d_p} </m>
<m> \frac{1}{d_m}=\frac{r_s}{r_m} \frac{1}{d_p} </m>
<m> \frac{d_p}{d_m}=\frac{r_s}{r_m} </m>
<m> \frac{r_m}{d_m}=\frac{r_s}{d_p} </m>
Det siste uttrykket forteller oss at forholdet mellom månens radius og avstanden fra planeten til månen er det samme som forholdet mellom stjernas radius og avstanden fra planeten til stjerna, altså vil de se like store ut på himmelen.
| Visste du at ... |
|---|
|
