Linje 7: |
Linje 7: |
| [[Image:Geometri2.gif|200px]] | | [[Image:Geometri2.gif|200px]] |
| | | |
| + | === Indre vinkel === |
| + | |
| + | Den indre vinkelen ''β'', vinkelen i hørnet av en regulær mangekant, kan finnes slik: |
| + | |
| + | <m> |
| + | \beta=\pi\left(1-\frac{2}{n}\right) |
| + | </m> |
| + | |
| + | Innsatt for en pikant får vi |
| + | |
| + | <m> |
| + | \beta=\pi\left(1-\frac{2}{\pi}\right)=\pi-2\approx 1.14159\approx 65.4\textdegree |
| + | </m> |
| + | |
| + | === Ytre vinkel === |
| + | |
| + | Den ytre vinkelen ''γ'' er tilsvarende for en regulær mangekant: |
| + | |
| + | <m> |
| + | \gamma=\pi\frac{2}{n} |
| + | </m> |
| + | |
| + | som for en pikant gir 2 radianer, eller 114,59 °. |
| === Omkrets === | | === Omkrets === |
| | | |
Linje 17: |
Linje 40: |
| [[Image:Geometri1.gif|200px]] | | [[Image:Geometri1.gif|200px]] |
| | | |
− | Vikelen ''α'' er da halvparten av en full sirkel delt på ''n'', eller målt i [[radianer]]: | + | Vikelen ''α'' er da halvparten av en full [[utopi|sirkel]] delt på ''n'', eller målt i [[radianer]]: |
| | | |
− | [[Image:Pikant4.gif]]
| + | <m> |
| + | \alpha=\frac{1}{2}\frac{2\pi}{n}=\frac{\pi}{n} |
| + | </m> |
| | | |
| Lengden ''u'' defineres av forholdet: | | Lengden ''u'' defineres av forholdet: |
| | | |
− | [[Image:Pikant2.gif]]
| + | <m> |
| + | \mathrm{tan}\,\alpha=\frac{L/2}{u} |
| + | </m> |
| | | |
| Arealet av den fremkommende trekanten er: | | Arealet av den fremkommende trekanten er: |
| | | |
− | [[Image:Pikant1.gif]]
| + | <m> |
| + | \frac{1}{2}u\frac{L}{2}=\frac{1}{4}uL |
| + | </m> |
| | | |
| Siden det er 2''n'' slike trekanter i mangekanten er det totale arealet 2''n'' ganger dette arealet. | | Siden det er 2''n'' slike trekanter i mangekanten er det totale arealet 2''n'' ganger dette arealet. |
Linje 33: |
Linje 62: |
| Da er det totale arealet: | | Da er det totale arealet: |
| | | |
− | [[Image:Pikant3.gif]]
| + | <m> |
| + | A=2n\cdot\frac{1}{4}uL=2n\cdot\frac{1}{4}\frac{L/2}{\mathrm{tan}\,\alpha}L=n\frac{1}{4}\mathrm{cot}\,\alpha L^{2}=\frac{n}{4}\mathrm{cot}\,\frac{\pi}{n}L^{2} |
| + | </m> |
| | | |
| Arealet av en pikant får vi ved å sette ''n'' lik ''π'': | | Arealet av en pikant får vi ved å sette ''n'' lik ''π'': |
| | | |
− | [[Image:Pikant5.gif]] | + | <m> |
| + | A=\frac{\pi}{4}\mathrm{cot}\,\frac{\pi}{\pi}L^{2}=\frac{\pi}{4}\mathrm{cot}\,1\cdot L^{2}\approx 0.504298 L^{2} |
| + | </m> |
| + | |
| + | === Høyde === |
| + | |
| + | Høyden av en pikant gis av formelen |
| + | |
| + | <m> |
| + | h=L \mathrm{sin}\left(\beta\right)= L \mathrm{sin}\left(\pi - 2\right)\approx 0.9093 L |
| + | </m> |
| + | |
| + | === Stjernepolygon === |
| + | |
| + | Den indre vinkelen er som nevnt over 65,4 °. Dette tilsvarer nesten perfekt en 5,5-deling av 360 grader, med et avvik på bare 0,070 %. Visuelt har derfor pikanten et nært forhold til en 11-kantet stjerne. Figuren under viser en pikantstjerne, et såkalt ''pikantagram''. Ved å se nærmere på figuren kan du se at det er et tomrom mellom linjene i det øverste hjørnet. |
| + | |
| + | [[Image:Geometri4.png|200px]] |
| + | |
| + | === Innskrevet og omskrevet sirkel === |
| + | |
| + | Senterpunktet for både innskrevet og omskrevet sirkel finnes i skjæringspunktet til linjene som halverer hjørnevinklene. |
| + | |
| + | [[Image:Geometri5.png|200px]] |
| + | |
| + | I figuren under er ''r'' og ''R'' radiene i henholdsvis den innskrevne og omskrevne sirkelen. |
| + | |
| + | [[Image:Geometri6.png|200px]] |
| + | |
| + | ==== Innskrevet sirkel ==== |
| + | |
| + | Fra geometriske betraktninger i figuren over kan vi sette opp følgende formler: |
| + | |
| + | <m> |
| + | \mathrm{tan}\left(\beta\right)=\frac{r}{L/2}=\frac{2r}{L} |
| + | </m> |
| + | |
| + | Ved innsetting og omrokkering får vi: |
| + | |
| + | <m> |
| + | r=\frac{1}{2}\mathrm{tan}\left(\frac{\pi}{2}-1\right) L\approx 0.321 L |
| + | </m> |
| + | |
| + | Arealet av den innskrevne sirkelen blir da: |
| + | |
| + | <m> |
| + | A=\frac{\pi}{4}\mathrm{tan}^2\left(\frac{\pi}{2}-1\right)L^2\approx 0.324 L^2 |
| + | </m> |
| + | |
| + | som tilsvarer ca. 64 % av pikantens areal. |
| + | |
| + | ==== Omskrevet sirkel ==== |
| + | |
| + | Som for den innskrevne sirkelen kan vi sette opp et uttrykk for radien i den omskrevne sirkelen: |
| + | |
| + | <m> |
| + | \mathrm{cos}\left(\frac{\pi}{2}-1\right)=\frac{1/2}{R} L=\frac{L}{2R} |
| + | </m> |
| + | |
| + | <m> |
| + | R=\frac{1}{2}\mathrm{sec}\left(\frac{\pi}{2}-1\right) L\approx 0.594 L |
| + | </m> |
| + | |
| + | Arealet av den omskrevne sirkelen blir da: |
| + | |
| + | <m> |
| + | A=\frac{\pi}{4}\mathrm{sec}^2\left(\frac{\pi}{2}-1\right) L^2 \approx 1.109 L^2 |
| + | </m> |
| + | |
| + | som tilsvarer ca. 220 % av pikantens areal. |
| | | |
| === Den åpne siden === | | === Den åpne siden === |
Linje 45: |
Linje 144: |
| [[Image:Geometri3.gif|200px]] | | [[Image:Geometri3.gif|200px]] |
| | | |
− | [[Image:Pikant6.gif]]
| + | <m> |
| + | \beta=\pi-2 |
| + | </m> |
| | | |
− | [[Image:Pikant7.gif]]
| + | <m> |
| + | \mathrm{cos}\,\beta=\frac{a}{L}\Rightarrow a=L\,\mathrm{cos}\,\beta |
| + | </m> |
| | | |
− | [[Image:Pikant8.gif]]
| + | <m> |
| + | x=L-2a=L-2L\,\mathrm{cos}\,\beta=L\left(1-2\,\mathrm{cos}\,\beta\right)=L\left(1-2\,\mathrm{cos}\,\left(\pi-2\right)\right)\approx 0.1677 L |
| + | </m> |
| | | |
− | * Enkelte matematikere mener at en pikant egentlig er en tredimensjonal figur som er projisert inn i ''xy''-planet. | + | * Enkelte matematikere mener at en pikant egentlig er en tredimensjonal figur som er projisert inn i [[xy-planet|''xy''-planet]]. |
| * Andre hevder at de ekstra 0.0026 ''L'' kommer fra luftforurensning i [[Asia]]. | | * Andre hevder at de ekstra 0.0026 ''L'' kommer fra luftforurensning i [[Asia]]. |
| * Den åpne siden er også blitt brukt til [[Narkisen|narkotikasmugling]]. | | * Den åpne siden er også blitt brukt til [[Narkisen|narkotikasmugling]]. |
| + | |
| + | === Tyngdepunkt === |
| + | Tyngdepunktet kan beregnes etter følgende måte: |
| + | |
| + | <m> |
| + | c_y=\frac{x \cdot h \cdot \frac{h}{2} + a \cdot h \cdot \frac{h}{3}}{x \cdot h + a \cdot h} |
| + | </m> |
| + | |
| + | Dette kan forenkles til |
| + | |
| + | <m> |
| + | \frac{h}{6} \frac{3 x + 2 a}{x + a} |
| + | </m> |
| + | |
| + | Ved innsetting får man |
| + | |
| + | <m> |
| + | c_y\approx 0.3466 L |
| + | </m> |
| + | |
| + | == Anvendelse == |
| + | |
| + | Den viktigste anvendelsen av den geometriske formen til en pikant er ved produksjon av musikkinstrumentet triangel. Vinkelens forhold til π og sirkelen gir instrumentet en spesielt rund lyd. |
| | | |
| == Relaterte artikler == | | == Relaterte artikler == |