Alkohol

Du trodde kanskje at du drakk for å glemme? Da har du nok glemt at du allerede er full. Hvis du benytter alkohol fordi du er i ferd med å gå inn i en depresjon vil nemlig depresjonen bare bli dypere.

Bakgrunn

Hvis du drikker på stigende humør, vil du få en positiv rus, men hvis du drikker på synkende humør, vil rusen være negativ. Hvis du i utgangspunktet har et konstant humør når du drikker, vil rusens påvirkning på humøret være neglisjerbar.

Når du er beruset er det ikke ditt virkelige humør som kommer til overflaten, men den rustransformerte humørfunksjonen. Hele tiden mens du er beruset har du et underliggende humør som først kan sees direkte igjen når promillen din blir null.

Matematisk grunnlag

Humøret ditt kan defineres med en dimensjonsløs parameter <m>\psi</m> på den reelle tallinjen. <m>\psi=0</m> tilsvarer et nøytralt humør, og positive verdier tilsvarer et godt humør. Ved beruselse vil det rustransformerte humøret <m>\zeta</m> komme til overflaten. <m>\zeta</m> kan beregnes ved å derivere humørfunksjonen med hensyn på tiden, som vist i utledningen under.

Fraksjonal derivasjon

Stigningstallet til en funksjon <m>f\left(x\right)</m> finnes ved den deriverte, <m>f'\left(x\right)</m> eller <m>\frac{d}{dx}f\left(x\right)</m>. For en potensfunksjon, eller et enkelt ledd i en polynomfunksjon, <m>f\left(x\right)=ax^{b}</m>, kan den deriverte finnes som <m>f'\left(x\right)=bax^{b-1}</m>. Den andrederiverte finnes ved å derivere den deriverte:<m>f\left(x\right)=b\left(b-1\right)ax^{b-2}</m>, og den tredjederiverte som <m>f'\left(x\right)=b\left(b-1\right)\left(b-2\right)ax^{b-3}</m>.

Ved å fortsette rekken kan det vises at den n-te-deriverte kan skrives som <m>f^{\left(n\right)}\left(x\right)=\frac{b!}{\left(b-n\right)!}ax^{b-n}</m>.

Vi kan erstatte fakultetfunksjonen med gammafunksjonen ved å benytte at <m>x!=\Gamma\left(x+1\right)</m>. Vi får da det generelle uttrykket for den n-te-deriverte <m>f^{\left(n\right)}\left(x\right)=\frac{\Gamma\left(b+1\right)}{\Gamma\left(b-n+1\right)}ax^{b-n}</m>, der n ikke nødvendigvis er et heltall. Dette betegnes fraksjonalderivasjon, men det er du for full til å forstå.

En vilkårlig funksjon f(x) som er uendelig differensierbar på x=h kan skrives som en polynomfunksjon ved Taylor-rekkeutvikling:<m>f(x)=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{f^{\left(i\right)}\left(h\right)}{i!} \left(x-h\right)^i.</m> Ved rekkeutvikling på x=0 kan dette skrives som <m>f(x)=\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}x^{i}</m> der <m>a_i=\frac{f^{\left(i\right)}\left(h\right)}{i!}</m>, og vi kan slik uttrykke den generelle fraksjonalderiverte av en vilkårlig funksjon med uttrykket

<m> f^{\left(n\right)}(x)=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{\Gamma\left(i+1\right)}{\Gamma\left(i-n+1\right)}a_{i}x^{i-n} </m>.

Rustransformasjon

Graden av beruselse bestemmer hvor mye humørfunksjonen skal fraksjonalderiveres. Vi kan definere beruselsesgraden med parameteren <m>\rho=\frac{p}{p_0}</m>, der p er alkoholpromillen og p₀ er den individuelle grenseverdien for promille, som avhenger av alkoholtoleranse. For en gjennomsnittlig person ligger p₀ et sted i intervallet 2-5 ‰, men for personer med alkoholisme som hovedlevevei kan p₀ være så høy som 10 eller 15 ‰.

Uttrykket for den rustransformerte humørfunksjonen er derfor

<m> \zeta=\psi^{\left(\rho\right)}(t)=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{\Gamma\left(i+1\right)}{\Gamma\left(i-\rho+1\right)}a_{i}t^{i-\rho} </m>.